Book123

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Michèle Audin, ""

TABLE DES MATIÈRES

Introduction ..............................................................1

I. Introduction aux systèmes intégrables ..................................7

1.1. Variétés symplectiques .................................................7

1.2. Systèmes hamiltoniens, exemples ...................................... 13

1.3. Systèmes complètement intégrables .................................... 17

I. 4. les flots géodésiques ................................................21

1.5. Appendice: le théorème de Darboux .................................... 26

Exercices ..................................................................27

II. Variables action-angles ..............................................35

11.1. Opérations hamiltoniennes de tores .................................. 35

II. 2. Théorème d'Arnold-Liouville .........................................40

11.3. Exemples .............................................................48

Exercices ..................................................................52

III. Intégrabilité et groupes de Galois ..................................57

Le théorème d'Arnold-Liouville,

revu par la théorie de Galois différentielle .............................. 57

IIL1. Équation aux variations, groupes de Galois et intégrales premières .. 58

111.2. Le cas d'un système hamiltonien .................................... 65

IIL3. Le cas d'un système intégrable .......................................67

111.4. Vers les applications: la réduction .................................77

111.5. L'exemple de Hénon-Heiles .......................................... 83

111.6. Appendice: démonstration du lemme de Ziglin ........................ 86

Exercices ..................................................................90

IV. Une introduction aux équations de Lax ..................................95

Le théorème d'Arnold-Liouville, fevu à travers les équations de I..ax .... .. 95

IV. 1. Pourquoi des courbes algébriques? .................................... 96

IV. 2. Un théorème de linéarisation ........................................ 100

IV. 3. Le cas des géodésiques des quadriques ............................... 106

IV. 4. Appendice: comment on construit des équations de Lax (un aperçu) .....119

Exercices ...................................................................126

Appendices

A. Ce qu'il faut savoir en théorie de Galois différentielle .................135

A.l. Corps différentiels ....................................................135

A.2. Extension de Picard-Vessiot ............................................136

A.3. Le groupe de Galois ................................................... 138

A.4. Le groupe de Galois d'un système hamiltonien est symplectique ..........141

A.5. Un exemple: l' équation d Airy ........................................ 142

Exercices faciles sur la théorie de Galois différentielle .................. 147

B. Ce qu'il faut savoir sur les courbes algébriques .......................149

B.1. Courbes complexes et surfaces de Riemann .............................. 149

B. 2. Fibrés en droites sur les courbes .................................... 151

B.3. Faisceaux et cocycles ................................................. 153

B.4. Groupe de Picard, Riemann-Roch, jacobienne ............................ 154

Exercices de compréhension des définitions ................................. 158

Bibliographie ............................................................ 161

Index ...................................................................... 167

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