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Daniel Perrin, "Géométrie algébrique. Une introduction"

Avant-propos

Get ouvrage a pour base un cours fondamental de troisieme cycle

donne en 1991-92, 1992-93 et 1993-94 a 1'Universite Paris Sud (Orsay).

Le cours comportait une cinquantaine d'heures a raison de 3/4 de cours et

de 1/4 d'exercices. II s'adressait a des etudiants n'ayant jamais aborde la

geometric algebrique. Vu le temps imparti, il ne peut s'agir, evidemment,

que d'une introduction a une partie de ce domaine. Le choix opere ici est

celui de la geometric projective sur un corps algebriquement clos, traitee

par des voies exclusivement algebriques.

Les principes didactiques de ce cours ont etc les suivants :

1) Partir de problemes dont la formulation est simple, mais dont la solution

est non triviale (theoreme de Bezout sur 1'intersection des courbes

planes, courbes unicursales). En 1993-1994 le chapitre sur les courbes

unicursales a ete remplace par celui sur la liaison des courbes gauches.

2) Introduire a cette occasion les outils fondamentaux de la geometric

algebrique : dimension, singularites, faisceaux, varietes, cohomologie. En

ce qui concerne les schemas, on a choisi de ne pas en developper le formalismesauf

dans le cas fini (pour parler de multiplicites d'intersection).

Un petit resume est donne en appendice. On en retient surtout 1'usage

des elements nilpotents.

3) Limiter au maximum la part de I'algebre commutative en admettant

un certain nombre de resultats (ou en se contentant de les montrer dans

des cas particuliers) lorsque leur demonstration n'est pas essentielle pour

leur utilisation. Les resultats fondamentaux utilises sont rassembles dans

un memento avec des references. Certains sont proposes en exercices ou

en problemes.

4) Ne pas craindre d'admettre certains resultats du corpus lui-meme,

lorsque leur sens n'est pas altere par 1'absence de demonstration. C'est le

cas par exemple pour 1'unicite de la cohomologie ou pour certains points

techniques du chapitre IX. Plus generalement, on a essay e de mettre

1'accent sur la comprehension des phenomenes plus que sur la technique.

5) Pour chaque sujet aborde, fournir un certain nombre d'exercices et

de problemes. Les textes donnes aux differents examens ont ete annexes

a 1'ensemble.

II est clair que sur un tel sujet on peut difficilement pretendre a 1'originalite.

Ce travail s'est done largement inspire des ouvrages existants

et notamment des livres d'Hartshorne , Fulton , Mumford et

Shafarevitch .

Je remercie Mireille Martin-Deschamps pour sa lecture attentive et ses

remarques. Je remercie aussi les auditeurs de ce cours qui m'ont signale

quelques erreurs et propose des ameliorations, et notamment Abdelkader

Belkilani, Nicusor Dan, Leopoldo Kulesz, Vincent Lafforgue et Thomas

Peteul.

Enfin, je suis heureux de remercier Claude Sabbah d'avoir accueilli

cet ouvrage dans la collection Savoirs Actuels et de m'avoir prete son

concours pour la mise au point du texte defmitif.

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