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La idea central que ha estado presente en la confección de cada uno de los detalles de este libro, ha sido la de presentar el Cálculo, no simplemente como un preludio de las matemáticas, sino como el primer encuentro real con las mismas. Puesto que fueron los fundamentos del análisis los que suministraron el material que sirvió de base para el desarrollo de las formas modernas de discurso matemático, debería verse en el Cálculo una ocasión de profundizar en los conceptos básicos de lógica, en vez de tratar de eludirlos. Además de fomentar la intuición de los estudiantes acerca de los hermosos conceptos del análisis, es desde luego igualmente importante convencerlos de que la precisión y el rigor no constituyen ni obstáculos para la intuición ni tampoco fines en sí mismos, sino simplemente el medio natural para formular y tratar las cuestiones matemáticas.

Esta finalidad implica un enfoque de las matemáticas que, en cierto sentido, tratamos de defender a lo largo de todo el libro. Por perfecta que pueda ser la exposición de cada materia en particular, los fines del libro sólo se alcanzarán si tiene éxito en su conjunto. Por ello, de poco serviría hacer una lista de las materias tratadas o mencionar las prácticas pedagógicas y otras innovaciones.

En esta segunda edición, existen apéndices especiales para temas que antes se hallaban tratados sólo superficialmente. Algunos temas, tales como operaciones con series de potencias, han sido desarrollados con más detalle en el texto y sobre los mismos hay ahora más ejercicios. Se presentan alrededor de 160 problemas nuevos, muchos de los cuales están, en cuanto a dificultad, en un término medio entre los pocos ejercicios de rutina del comienzo de cada capítulo y los más difíciles que aparecen más adelante.

Indice del Contenido

PREFACIO

PARTE I. Prólogo

1. Propiedades básicas de los números

2. Distintas clases de números

PARTE II. Fundamentos

3. Funciones

Apéndice. Pares ordenados

4. Gráficas

Apéndice. Coordenadas polares

5. Límites

6. Funciones continuas

7. Tres teoremas fuertes

8. Cotas superiores mínimas

Apéndice. Continuidad uniforme

PARTE III. Derivadas e integrales

9. Derivadas

10. Derivación

11. Significado de la derivada

Apéndice. Convexidad y Concavidad

12. Funciones inversas

Apéndice. Representación paramétrica de curvas

13. Integrales

Apéndice 1. Sumas de Riemann

Apéndice 2. La integral cosmopolita

14. Teorema fundamental del cálculo infinitesimal

15. Las funciones trigonométricas

16. n (Pi) es irracional

17. Las funciones logarítmica y exponencial

18. Integración en términos elementales

PARTE IV. Sucesiones infinitas y series infinitas

19. Aproximación mediante funciones polinómicas

20. e es transcendente

21. Sucesiones infinitas

22. Series infinitas

23. Convergencia uniforme y series de potencias

24. Números complejos

25. Funciones complejas

26. Series complejas de potencias

PARTE V. Epílogo

27. Cuerpos

28. Construcción de números reales

29. Unicidad de los números reales

Lecturas aconsejadas

Soluciones a problemas seleccionados

Glosario de símbolos

Índice alfabético

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