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, by Jean Dieudonné”

Quatrième de couverture

Le but de ce chapitre est d'initier les analystes aux premiers rudiments de la Topologie algébrique et de la Topologie différentielle, deux des domaines les plus actifs des recherches modernes. Conformément à l'esprit de l' "Analyse globale" qui est celui de ce Traité, c'est la cohomologie des variétés différentielles et des espaces fibrés qui est au centre de ce chapitre, ainsi que ses relations les plus élémentaires avec les structures additionnelles portées par les variétés, telles que connexions ou structures de groupes. Lorsqu'on se borne à la cohomologie à coefficients réels ou complexes, on y accède immédiatement à l'aide des formes différentielles, sans les moindres préliminaires "combinatoires", et en n'utilisant comme outil algébrique que la suite exacte de cohomologie.

Toutefois c'est présenter une image incomplète de la théorie que de se limiter à la cohomologie à coefficients réels. Aussi, après avoir donné les propriétés essentielles de cette dernière, on aborde également la théorie de l'homologie singulière, en la mettant, comme de Rham, en rapport avec l'homologie des courants (duale de la cohomologie sur une variété orientée), la jonction se faisant par la formule de Stokes ; mais on se limite aux notions combinatoires strictement indispensables pour permettre le calcul de l'homologie des variétés différentielles les plus fréquemment rencontrées.

XXIV -Topologie algébrique et topologie différentielle élémentaire.

Table de résultats sur l'homologie d'espaces particuliers.

Cohomologie et cohomologie à supports compacts d'une variété différentielle. - La formule d'homotopie. - Les suites de Mayer-Vietoris. - Cohomologie des sphères. - Le théorème de Künneth. - La dualité de Poincaré. - Cohomologie d'une sous-variété compacte. - Les théorèmes de Brouwer. - Degré d'une application. - Homologie des courants. - Homologie des courants sur une variété orientée. - Régularisation des courants. - L'anneau d'intersection. - La formule de Stokes. - Applications : I. Nombre de racines d'une équation. - Applications : II. Intersections de courbes algébriques sur une surface algébrique. - Homologie des courants cellulaires. - Subdivisions cellulaires et simpliciales. - Bords des courants simpliciaux. - Chaînes simpliciales formelles et homologie singulière. - Lemmes de subdivision. - Propriétés de l'homologie singulière. - Les théorèmes de de Rham : I. Courants associés à une subdivision simpliciale. - Les théorèmes de de Rham : II. Approximation d'un courant par les courants d'une subdivision simpliciale. - Les théorèmes de de Rham : III. Prolongement de p-formes. - Les théorèmes de de Rham : IV. Fin de la démonstration. - Structure des modules d'homologie. - Homologie des complexes simpliciaux euclidiens compacts. - La cohomologie singulière. - Structure des groupes de cohomologie. - L'anneau de cohomologie singulière. - Cohomologie singulière des complexes simpliciaux euclidiens compacts. - Cohomologie singulière d'une variété différentielle. - La cohomologie singulière à supports compacts. - Homologie et cohomologie singulière relatives. - Cohomologie relative et cohomologie à supports compacts. - Excision et suites de Mayer-Vietoris relatives. - Cohomologie des produits de variétés et des espaces fibrés. - Suite de Gysin et classe d'Euler. - Cohomologie des grassmanniennes. - Classes de Chern. - Propriétés des classes de Chern. - Classes de Pontrjagin. - Compléments sur les formes différentielles vectorielles et les connexions principales. - L'homomorphisme de Weil. - Courbure et classes caractéristiques. - Classes de Stiefel-Whitney. - La théorie de Hodge. - La formule d'Atiyah-Bott-Lefschetz. - Applications : I. La formule de Hopf pour les champs de vecteurs. - Applications : II. Formules de Bott pour les classes caractéristiques. - Cohomologie des groupes de Lie. - Éléments primitifs.

Annexe -Compléments d'algèbre (suite).

Produits infinis de modules. - Produits tensoriels de modules. - Suites exactes. - Cohomologie d'un module différentiel gradué. - Homologie et cohomologie d'un Z-module codifférentiel gradué libre. - Compléments sur les espaces vectoriels. - Le pfaffien.- Compléments sur les Z-modules de type fini.

BIBLIOGRAPHIE

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