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by Jean Dieudonné”

Le chapitre XVIII est le dernier des trois chapitres qui posent les bases de l'Analyse sur les variétés différentielles, en précisant ce qu'il faut entendre dans cette théorie par équation différentielle ou aux dérivées partielles. Déjà dans les espaces Rn, il est clair que la notion classique d'équations aux dérivées partielles est liée au système d'axes choisi, et cela n'a pas laissé de causer bien des difficultés aux mathématiciens qui, au XIXe siècle, ont cherché à classer les équations aux dérivées partielles suivant leurs propriétés, même du point de vue purement local. Ce n'est qu'en ne perdant jamais de vue le sens géométrique d'un système différentiel (donnée d'un "élément tangent" en chaque point) qu'on a pu, à la suite de Élie Cartan, parvenir à des conceptions pleinement satisfaisantes à ce sujet ; la théorie générale est d'ailleurs loin d'être achevée, et nous n'en donnons que les premiers rudiments.

C'est également le point de vue local qui prédomine dans les chapitres XIX et XX, où sont exposés les premiers résultats d'Analyse "intrinsèque". Le chapitre XIX est entièrement consacré à l'exploitation de l'idée fondamentale de Lie, l'existence d'un "dictionnaire" qui traduit en termes algébriques les propriétés infinitésimales d'un groupe de Lie. La méthode suivie diffère un peu de la plupart des exposés, en prenant d'emblée comme objet algébrique fondamental l'algèbre de tous les opérateurs différentiels invariants par translation à gauche, d'ordre quelconque. Cela a l'avantage de faire correspondre à une structure associative une autre qui l'est également ; le fait (spécial à la caractéristique 0) que la connaissance des opérateurs invariants d'ordre 1 et de leur structure d'algèbre de Lie détermine tous les autres, n'est présenté que postérieurement, fournissant d'ailleurs aussitôt 1' "algèbre enveloppante" dont on donne souvent une définition abstraite tout à fait inutile.

La plus grande partie du chapitre XX est elle aussi consacrée à une étude locale, celle des variétés riemanniennes, envisagée dans le contexte plus général des "G-structures", forme moderne de la méthode du "repère mobile" de Élie Cartan, qui exploite la richesse de la structure d'espace fibre principal, grâce à la théorie de Lie.

Plan de l'ouvrage :: 8

TABLE DES MATIÈRES :: 10

Notations :: 12

Chapitre XVIII Calcul différentiel sur une variété différentielle II. Théorie globale élémentaire des équations différentielles du premier et du second ordre. Théorie locale élémentaire des systèmes différentiels :: 20

1. Équations différentielles du premier ordre sur une variété différentielle :: 21

2. Coulée d'un champ de vecteurs :: 23

3. Équations différentielles du second ordre sur une variété :: 35

4. Champs isochrones et équations du second ordre isochrones :: 39

5. Propriétés de convexité des équations différentielles isochrones :: 43

6. Géodésiques d'une connexion :: 47

7. Familles de géodésiques à un paramètre et champs de Jacobi :: 52

8. Champs de p-directions, systèmes de Pfaff et systèmes d'équations aux dérivées partielles :: 59

9. Systèmes différentiels :: 65

10. Éléments intégraux d'un système différentiel :: 66

11. Position du problème d'intégration :: 74

12. Le théorème de Cauchy-Kowalewska :: 80

13. Le théorème de Cartan-Kähler :: 90

14. Systèmes de Pfaff complètement intégrables :: 100

15. Variétés intégrales singulières; variétés caractéristiques :: 111

16. Caractéristiques de Cauchy :: 113

17. Exemples: I. Équations aux dérivées partielles du premier ordre :: 126

18. Exemples : II. Équations aux dérivées partielles du second ordre :: 133

Chapitre XIX Groupe de Lie et algèbres de Lie :: 138

1. Opérations équivariantes d'un groupe de Lie sur les espaces fibres :: 139

2. Opérations d'un groupe de Lie G sur les fibres de base G :: 145

3. Algèbre infinitésimale et algèbre de Lie d'un groupe de Lie :: 146

4. Exemples :: 154

5. La formule de Taylor dans un groupe de Lie :: 157

6. Algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie :: 163

7. Groupes de Lie immergés et sous-algèbres de Lie :: 166

8. Connexions invariantes, sous-groupes à un paramètre et application exponentielle :: 175

9. Propriétés de l'application exponentielle :: 185

10. Sous-groupes fermés des groupes de Lie :: 189

11. Représentation adjointe. Normalisateurs et centralisateurs :: 193

12. Algèbre de Lie du groupe des commutateurs :: 199

13. Groupes d'automorphismes des groupes de Lie :: 203

14. Produits semi-directs de groupe de Lie :: 207

15. Différentielle d'une application dans un groupe de Lie :: 217

16. Formes différentielles invariantes et mesure de Haar sur un groupe de Lie :: 219

17. Groupes de Lie complexes :: 227

Chapitre XX Connexions principales et géométrie riemannienne :: 234

1. Le fibré des repères d'un espace fibré vectoriel :: 236

2. Connexions principales sur les fibrés principaux :: 240

3. Différentiation extérieure covariante attachée à une connexion principale et forme de courbure d'une connexion principale :: 245

4. Exemples de connexions principales :: 249

5. Connexions linéaires associées à une connexion principale :: 254

6. La méthode du repère mobile :: 261

7. G-structures :: 276

8. Généralités sur les variétés pseudo-riemanniennes :: 291

9. La connexion de Levi-Civita :: 298

10. Le tenseur de Riemann-Christoffel :: 311

11. Exemples de variétés riemanniennes et pseudo-riemanniennes :: 319

12. Métrique riemannienne induite sur une sous-variété :: 328

13. Courbes dans les variétés riemanniennes :: 339

14. Hypersurfaces dans les variétés riemanniennes :: 349

15. Le problème d'immersion :: 360

16. La structure d'espace métrique d'une variété riemannienne. Étude locale :: 365

17. Boules strictement géodésiquement convexes :: 374

18. La structure d'espace métrique d'une variété riemannienne. Étude globale. Variétés riemanniennes complètes :: 377

19. Géodésiques périodiques :: 387

20. Première et seconde variation de la longueur d'arc et champs de Jacobi d'une variété riemannienne :: 389

21. Courbure bidimensionnelle :: 400

22. Variétés à courbure bidimensionnelle positive ou à courbure bidimensionnelle négative :: 402

23. Variétés riemanniennes à courbure constante :: 409

Annexe: Compléments d'algèbre (suite) :: 416

Bibliographie :: 420

Index :: 424

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