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, by Jean Dieudonné”

Avec le chapitre XVI commence ce que l'on s'accorde à considérer comme le coeur de l'Analyse moderne, l'Analyse sur les variétés", ou "Analyse globale", dont l'étude des aspects les plus accessibles forme l'objet du reste de ce Traité. Malheureusement, avant d'aborder les problèmes principaux de cette branche des mathématiques, il est encore nécessaire de forger les outils permettant de les attaquer.

Les concepts essentiellement linéaires de l'Analyse classique dans les espaces Rn, développés aux chapitres VII à X, sont en effet inadéquats pour travailler dans les variétés différentielles ; ou plutôt, il faut commencer par les adapter au fait que l'aspect "linéaire", s'il demeure fondamental, est maintenant uniquement local ; il faut donc se garder de l'utilisation de "cartes" tant qu'on ne s'est pas assuré que les notions que l'on étudie sont intrinsèques, c'est à dire indépendantes du choix des cartes. Les chapitres XVI à XVIII sont donc consacrés à rendre "intrinsèques" les concepts classiques des chapitres VIII à X ; dérivées, dérivées partielles, équations différentielles, etc. Chemin faisant, on élargira au chapitre XVII la théorie de l'intégrale : cette dernière ne nécessite à la base qu'une structure assez pauvre, celle d'espaceiocalement compact ; lorsqu'on dispose d'une structure beaucoup plus riche comme celle de variété différentielle, on peut développer une théorie plus vaste, celle des distributions, qui complète harmonieusement l'intégration à bien des égards et joue un rôle capital dans l'Analyse contemporaine, comme on pourra le voir aux chapitres XXII et XXIII.

Plan de l'ouvrage :: 8

TABLE DES MATIÈRES :: 10

Notations :: 12

Chapitre XVI Variétés différentielles :: 22

1. Cartes, atlas, variétés :: 24

2. Exemples de variétés différentielles. Difféomorphismes :: 28

3. Applications différentiables :: 32

4. Partitions différentiables de l'unité :: 37

5. Espaces tangents; applications linéaires tangentes; rang :: 42

6. Produits de variétés :: 54

7. Immersions, submersions, subimmersions :: 56

8. Sous-variétés :: 58

9. Groupes de Lie :: 71

10. Espaces d'orbites ; espaces homogènes :: 77

11. Exemples: groupes unitaires, variétés de Stiefel, grassmanniennes, espaces projectifs :: 86

12. Fibrations :: 95

13. Définition de fibrations par des cartes :: 105

14. Espaces fibrés principaux :: 108

15. Espaces fibrés vectoriels :: 122

16. Opérations sur les fibrés vectoriels :: 131

17. Suites exactes, sous-fibrés et fibrés quotients :: 138

18. Morphismes canoniques de fibrés vectoriels :: 142

19. Image réciproque d'un espace fibré vectoriel :: 148

20. Formes différentielles :: 153

21. Variétés orientables et orientations :: 166

22. Changement de variables dans les intégrales multiples et mesures lebesguiennes :: 176

23. Le théorème de Sard :: 182

24. Intégrale d'une n-forme différentielle sur une variété pure orientée de dimension n :: 186

25. Théorèmes de plongement et d'approximation. Voisinages tubulaires :: 198

26. Homotopies et isotopies différentiables :: 208

27. Groupe fondamental d'une variété connexe :: 216

28. Revêtements et groupe fondamental :: 223

29. Revêtement universel d'une variété différentielle :: 230

30. Revêtements d'un groupe de Lie :: 234

Chapitre XVII Calcul différentiel sur une variété différentielle I. Distributions et opérateurs différentiels :: 244

1. Les espaces E(r)(U) (U ouvert dans R^n) :: 247

2. Espaces de sections C∞(resp. C^r) de fibrés vectoriels :: 250

3. Courants et distributions :: 255

4. Définition locale d'un courant. Support d'un courant :: 258

5. Courants sur une variété orientée. Distributions sur R^n :: 261

6. Distributions réelles. Distributions positives :: 273

7. Distributions à support compact. Distributions ponctuelles :: 274

8. Topologie faible sur les espaces de distributions :: 277

9. Exemple : parties finies d'intégrales divergentes :: 281

10. Produit tensoriel de distributions :: 291

11. Convolution des distributions sur un groupe de Lie :: 296

12. Régularisation des distributions :: 303

13. Opérateurs différentiels et champs de distributions ponctuelles :: 308

14. Champs de vecteurs comme opérateurs différentiels :: 315

15. Différentielle extérieure d'une p-forme différentielle :: 325

16. Connexions sur un espace fibré vectoriel :: 335

17. Opérateurs différentiels associés à une connexion :: 341

18. Connexions sur une variété différentielle :: 344

19. Différentielle extérieure covariante :: 348

20. Courbure et torsion d'une connexion :: 354

Annexe : Compléments d'algèbre (suite) :: 358

Bibliographie :: 380

Index :: 382

Rectificatif :: 389

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