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, by Jean Dieudonné”

Avec le chapitre XI, les chapitres XIII à XV peuvent, dans ce Traité, être groupés en un "bloc d'Analyse fonctionnelle linéaire". En simplifiant à l'extrême, on peut dire en effet que les chapitres XIII et XIV étudient en détail un des types les plus importants de "formes linéaires", l'intégrale envisagée d'un point de vue général, qui est à l'Analyse ce que la notion de somme finie est à l'Algèbre ; tandis que le chapitre XV, approfondissant les idées introduites au chapitre XI sous un aspect plus élémentaire, s'appuie sur l'outil puissant fourni par l'intégrale pour analyser les opérateurs linéaires et leur spectre : on y observera le rôle prépondérant qu'y joue un des concepts algébriques de base, la notion d'anneau, qui jusque là n'était intervenue que sporadiquement en Analyse. Le cadre de ces chapitres demeure encore assez abstrait, bien qu'on ait cherché à donner de nombreux exemples d'applications dans les problèmes ; les grandes théories de l'Analyse plus "concrète" auxquelles ils préparent font l'objet des chapitres XXI à XXIII. Les notions élémentaires d'Analyse fonctionnelle introduites aux chapitres III, V, VI et VII ne sont plus tout à fait suffisantes pour les besoins des chapitres XIII à XV ; aussi a-t-on groupé en un chapitre XII les compléments nécessaires ; on y a aussi inséré les rudiments de la théorie des groupes topologiques, qui va intervenir de façon essentielle à partir du chapitre XVI.

Plan de l'ouvrage :: 8

TABLE DES MATIÈRES :: 10

Notations :: 12

Chapitre XII Compléments de topologie et d'algèbre topologique :: 18

1. Espaces topologiques :: 18

2. Notions topologiques :: 19

3. Espaces séparés :: 23

4. Espaces uniformisables :: 27

5. Produits d'espaces uniformisables :: 31

6. Recouvrements localement finis et partitions de l'unité :: 37

7. Fonctions semi-continues :: 40

8. Groupes topologiques :: 50

9. Groupes métrisables :: 56

10. Espaces à opérateurs et espaces d'orbites :: 62

11. Espaces homogènes :: 70

12. Groupes quotients :: 72

13. Espaces vectoriels topologiques :: 76

14. Espaces localement convexes :: 79

15. Topologies faibles :: 89

16. Le théorème de Baire et ses conséquences :: 99

Chapitre XIII Intégration :: 114

1. Définition d'une mesure :: 115

2. Mesures réelles :: 119

3. Mesures positives. Valeur absolue d'une mesure :: 120

4. Topologie vague :: 124

5. Intégrales supérieure et inférieure par rapport à une mesure positive :: 128

6. Fonctions et ensembles négligeables :: 134

7. Fonctions et ensembles intégrables :: 136

8. Les théorèmes de convergence de Lebesgue :: 140

9. Fonctions mesurables :: 148

10. Intégrales de fonctions vectorielles :: 166

11. Les espaces L1 et L2 :: 170

12. L'espace L∞ :: 184

13. Mesures de base μ :: 190

14. Intégration par rapport à une mesure positive de base μ :: 194

15. Le théorème de Lebesgue-Nikodym et la relation d'ordre dans MR(X) :: 200

16. Applications : I. Intégration par rapport à une mesure complexe :: 209

17. Applications : II. Dual de L1 :: 210

18. Décompositions canoniques d'une mesure :: 214

19. Support d'une mesure. Mesures à support compact :: 221

20. Mesures bornées :: 223

21. Produit de mesures :: 228

Chapitre XIV Intégration dans les groupes localement compacts :: 250

1. Existence et unicité d'une mesure de Haar :: 250

2. Cas particuliers et exemples :: 259

3. Fonction module sur un groupe; module d'un automorphisme :: 263

4. Mesure de Haar sur un groupe quotient :: 272

5. Convolution de mesures sur un groupe localement compact :: 277

6. Exemples et cas particuliers de convolutions de mesures :: 279

7. Propriétés algébriques de la convolution :: 280

8. Convolution d'une mesure et d'une fonction :: 284

9. Exemples de convolutions de mesures et de fonctions :: 286

10. Convolution de deux fonctions :: 290

11. Régularisation :: 296

Chapitre XV Algèbres normées et théorie spectrale :: 307

1. Algèbres normées :: 307

2. Spectre d'un élément d'une algèbre normée :: 312

3. Caractères et spectre d'une algèbre de Banach commutative. Transformation de Gelfand :: 320

4. Algèbres de Banach involutives et algèbres stellaires :: 334

5. Représentations des algèbres involutives :: 345

6. Formes linéaires positives et représentations; formes hilbertiennes positives :: 349

7. Traces, bitraces et algèbres hilbertiennes :: 356

8. Algèbres hilbertiennes complètes :: 359

9. Le théorème de Plancherel-Godement :: 371

10. Représentations des algèbres de fonctions continues :: 386

11. La théorie spectrale de Hilbert :: 395

12. Opérateurs normaux non bornés :: 410

13. Prolongement des opérateurs hermitiens non bornés :: 425

Bibliographie :: 440

Index :: 442

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